На доказательства некоторых ушли целые столетия. Как вы думаете, сможет ли искусственный интеллект решить сложные задачи, с которыми на данный момент не справляются даже лучшие математические умы современности?
Возможно, да, но нам нужно помнить, что нейросети – это создание, продукт людей, поэтому не стоит умалять умственные способности гомо сапиенс. Мы, люди, постоянно что-то подсчитываем и вычисляем, заодно развивая свой разум. Без математики нельзя достичь такого уровня мышления, при котором возможно анализировать и систематизировать огромное количество поступающей информации.
Люди, которым подвластна математика, имеют также возможность находить во всех процессах жизни и в науке закономерности, они в состоянии установить причинно-следственные связи. Математика – наука самая абстрактная, поэтому она помогает развить логическое мышление, строить стратегии и абстрактные конструкции.
Занимающиеся математикой профессионалы способны найти ответы почти на все задачи, даже такие, которые признаны наиболее сложными для человеческого разума. Но некоторые из них получилось решить только благодаря вмешательству изобретения человека последних десятилетий – компьютеру.
Getty Images
В 2019 году математики наконец решили одну из сложнейших математических задач, которая ставила их в тупик на протяжении десятилетий. Она называется диофантовым уравнением, а иногда ее называют «суммой трех кубов».
Звучит она так: найдите x, y и z такие, что x3+y3+z3=k для каждого будет равно k, от единицы до 100.
На первый взгляд это кажется легкой задачкой. Можете ли вы придумать целые числа для x, y и z такие, чтобы x3+y3+z3=8? Конечно. Один из ответов: x = 1, y = -1 и z = 2. Но как насчет целых чисел для x, y и z, чтобы x3+y3+z3=42? Это оказалось намного сложнее: никто не мог найти эти целые числа в течение 65 лет, пока суперкомпьютер наконец не отыскал решение для числа 42. Итак, z = 12602123297335631. Все очевидно, не правда ли?
В этом красота математики: на всё всегда есть ответ, даже если на его поиск уходят годы, десятилетия или даже столетия. Итак, вот еще девять чрезвычайно сложных математических задач, решение которых когда-то казалось невозможным, пока математики не сделали прорыв.
Getty Images
В 2000 году Математический институт Клэя, некоммерческая организация США, занимающаяся увеличением и распространением математических знаний, предложил всем математикам в мире решить семь математических задач. В награду было предложено 1 000 000 долларов тому, кто сможет справиться хотя бы с одной из них. Ни одна из задач до сих пор не решена, за исключением гипотезы Пуанкаре.
Анри Пуанкаре был французским математиком, который примерно на рубеже 20-го века проделал фундаментальную работу в области того, что мы сейчас называем топологией. Вот его идея: топологам нужны математические инструменты для различения абстрактных форм. Что касается фигур в трехмерном пространстве, таких как шар или пончик, классифицировать их все было несложно. В некотором смысле мяч – самая простая из этих форм.
Затем Пуанкаре обратился к четырехмерным вещам и задался аналогичным вопросом. После некоторых доработок и переработок гипотеза приняла следующую форму: «Каждое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно S 3», что, по сути, гласит: «Простейшая четырехмерная форма является четырехмерным эквивалентом сферы».
Столетие спустя, в 2003 году, российский математик Григорий Перельман опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре на современном открытом математическом форуме arXiv. В его доказательстве было несколько небольших пробелов, и оно основывалось непосредственно на исследованиях американского математика Ричарда Гамильтона. Это было революционно, но скромно.
После того как математический мир потратил несколько лет на проверку деталей работы нашего математика, началось вручение наград. Перельману предложили премию тысячелетия в миллион долларов, а также медаль Филдса, которую часто называют Нобелевской премией по математике. Он отверг оба варианта, сказав, что его работа была направлена на пользу математики, а не для личной выгоды, а также что Гамильтон, заложивший основы его доказательства, по крайней мере, не менее заслуживает премии.
Getty Images
Пьер де Ферма – французский юрист и математик 17 века. Математика была для него скорее хобби, и поэтому один из величайших математических умов в истории предал огласке многие из своих теорем через случайную переписку. Он делал утверждения, не доказывая их, оставляя их доказывать другим математикам десятилетия или даже столетия спустя. Самая сложная из них стала известна как Великая теорема Ферма.
Вот что это вкратце. Существует множество троек целых чисел (x, y, z), удовлетворяющих x2+y2=z2. Они известны как тройки Пифагора, например (3,4,5) и (5,12,13). Теперь, есть ли три числа (x, y, z), удовлетворяющее x3+y3=z3?
Ответ – нет, и это и есть Великая теорема Ферма.
Ферма, как известно, написал Великую теорему от руки на полях учебника, добавив комментарий о том, что у него имеется доказательство, но он не может поместить его на полях – недостаточно места. На протяжении веков математический мир задавался вопросом, действительно ли он имел в виду достоверное доказательство.
Перенесемся через 330 лет после смерти Ферма в 1995 год, когда британский математик сэр Эндрю Уайлс наконец решил одну из старейших открытых задач в истории. За свои усилия Уайлс был посвящен в рыцари королевой Елизаветой II и награжден уникальной почетной доской вместо медали Филдса, поскольку его возраст был чуть выше официального возраста для получения этой награды.
Уайлсу удалось объединить новые исследования в самых разных областях математики, чтобы решить классический вопрос теории чисел Ферма. Одна из этих тем, эллиптические кривые, была совершенно не открыта во времена Ферма, что заставило многих увериться, что у Ферма никогда не было доказательства своей Великой теоремы.
Wikimedia Commons
От решения кубика Рубика до доказательства факта обмена телами в Футураме – абстрактная алгебра имеет широкий спектр приложения. Алгебраические группы – это наборы, соответствующие нескольким базовым свойствам, таким как наличие «элемента идентичности», который работает как добавление 0.
Группы могут быть конечными или бесконечными, и если вы хотите знать, как выглядят группы определенного размера n, это может оказаться очень сложным в зависимости от вашего выбора n.
Если n равно 2 или 3, группа может выглядеть только одним способом. Когда n достигает 4, есть две возможности. Естественно, математикам нужен был полный список всех возможных групп любого заданного размера.
На составление полного списка ушли десятилетия из-за трудностей с уверенностью в его полноте. Одно дело – описать, как выглядит бесконечное множество групп, но еще труднее убедиться, что список охватывает все. Классификация конечных простых групп – возможно, величайший математический проект 20-го века, был организован гарвардским математиком Дэниелом Горенштейном, который в 1972 году разработал чрезвычайно сложный план.
К 1985 году работа была почти завершена, но она охватывала так много страниц и публикаций, что было немыслимо, чтобы один человек мог ее рецензировать. Постепенно многие аспекты доказательства были проверены, и полнота классификации подтверждена.
К 1990-м годам это доказательство получило широкое признание. Последующие усилия были предприняты, чтобы упростить титаническое доказательство до более управляемого уровня, и этот проект продолжается до сих пор.
Inductiveload [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)]//Wikimedia Commons
Это так же легко утверждать, как и трудно доказать. Возьмите любую карту (расположенную на плоскости или на сфере) и четыре карнадаша, фломастера. Раскрасьте каждую страну на карте, следуя только одному правилу: ни одна страна, имеющая общую границу с другими, не имеет одинакового цвета.
wikipedia.org
Тот факт, что любую карту можно раскрасить пятью цветами – «Теорема пяти цветов», – был доказан ещё в XIX веке. Но снижение этого показателя до четырех заняло время до 1976 года.
Два математика из Университета Иллинойса, Кеннет Аппель и Вольфганг Хакан, нашли способ свести доказательство к большому, конечному числу случаев. С помощью компьютера они тщательно проверили почти 2000 случаев и в итоге получили беспрецедентный стиль доказательств.
Доказательство Аппеля и Хакана, возможно, спорное, поскольку оно было частично задумано в уме машины, но в конечном итоге было принято большинством математиков. С тех пор детали, проверенные на компьютере, стали гораздо более распространенным явлением, но Аппель и Хакан первые проложили этот путь.
Wikimedia Commons
В конце 19 века немецкий математик Георг Кантор поразил всех, выяснив, что бесконечности бывают разных размеров, называемых мощностями. Он доказал основополагающие теоремы о мощности, которые современные математики обычно изучают на уроках дискретной математики.
Кантор доказал, что множество действительных чисел больше множества натуральных чисел, которое мы записываем как |R|>|N|. Нетрудно было установить, что размер натуральных чисел |N| – это первый бесконечный размер; ни одно бесконечное множество не меньше N.
Реальные числа больше, но являются ли они вторым бесконечным размером? Это оказался гораздо более сложный вопрос, известный как «Гипотеза континуума» (CH – Continuum hypothesis).
Если CH истинно, то |R| – второй бесконечный размер, и нет бесконечных множеств меньше R, но больше N. А если CH ложно, то между ними есть хотя бы один размер.
Так каков ответ? Здесь дело принимает следующий оборот. Было доказано, что CH независимо по отношению к базовым аксиомам математики. Оно может быть истинным, и никаких логических противоречий не последует, но оно также может быть ложным, и никаких логических противоречий не последует.
Это странное положение дел, но не такое уж редкое в современной математике. Возможно, вы слышали об «Аксиоме выбора» – еще одном независимом утверждении. Доказательство этого результата растянулось на десятилетия и, естественно, разделилось на две основные части: доказательство непротиворечивости CH и доказательство непротиворечивости отрицания CH.
Первая половина – благодаря Курту Гёделю, легендарному австро-венгерскому логику. Его математическая конструкция 1938 года, известная как Конструируемая Вселенная Гёделя, доказала совместимость CH с базовыми аксиомами и до сих пор является краеугольным камнем классов теории множеств. Вторая половина решалась еще два десятилетия, пока Пол Коэн, математик из Стэнфорда, не решил ее, изобретя целый метод доказательства в теории моделей, известный как «принуждение».
Каждая половина доказательства Гёделя и Коэна требует определенного уровня теории множеств, поэтому неудивительно, что эта уникальная история оказалась эзотерической за пределами математических кругов.
Работы Гёделя в области математической логики были совершенно новым уровнем. Помимо доказывания, Гёдель также любил доказывать, можно ли что-то доказать. Его теоремы о неполноте часто понимают неправильно, поэтому вот вам прекрасная возможность прояснить их.
Первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что на любом языке доказательств всегда есть недоказуемые утверждения. Всегда есть что-то истинное, что нельзя доказать. Можно понять (математически нестрогую) версию аргумента Гёделя, если тщательно поразмыслить. Итак, пристегнитесь, рассмотрим утверждение: «Это утверждение не может быть доказано».
Продумайте каждый случай, чтобы понять, почему это пример истинного, но недоказуемого утверждения. Если оно ложно, то и то, о чем оно говорит, ложно, и тогда его можно доказать истинным, а это противоречиво, поэтому этот случай невозможен. С другой стороны, если бы у него действительно было доказательство, то это доказательство доказало бы его истинность... сделав правдой отсутствие доказательств, что противоречиво, убивая это утверждение. Таким образом, мы логически остаемся со случаем, когда утверждение истинно, но не имеет доказательств. Да, есть от чего кружиться голове.
Но последуйте этому почти, но не совсем парадоксальному трюку, и вы проиллюстрируете справедливость первой теоремы Гёделя о неполноте.
Вторая теорема Гёделя о неполноте столь же странна. Он утверждает, что математические «формальные системы» не могут доказать свою непротиворечивость. Последовательная система – это та, которая не вызывает никаких логических противоречий.
Вот как вы можете об этом думать. Представьте, что у Алика и Бори есть набор математических аксиом – базовых математических правил. Если Алик может использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система аксиом Бори не содержит противоречий, то Боря не сможет использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система Алика не порождает противоречий.
Поэтому, когда математики спорят о наилучшем выборе основных аксиом математики (это встречается гораздо чаще, чем вы можете себе представить), крайне важно осознавать это явление.
User:Dcoetzee [CC0]//Wikimedia Commons
Существует множество теорем о простых числах. Один из простейших фактов – существование бесконечного числа простых чисел – можно даже очаровательно уместить в форме хайку.
Теорема о простых числах более тонкая; она описывает распределение простых чисел вдоль числовой прямой. Точнее, там говорится, что для натурального числа N количество простых чисел ниже N равно примерно N/log(N)... с обычными статистическими тонкостями, связанными со словом «приблизительно».
Опираясь на идеи середины XIX века, два математика, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле Пуссен, независимо друг от друга доказали теорему о простых числах в 1898 году. С тех пор доказательство стало популярной мишенью для переписывания, претерпев множество косметических изменений и упрощений. Но влияние теоремы только возросло.
Полезность теоремы о простых числах огромна. На нее полагаются современные компьютерные программы, работающие с простыми числами. Это фундаментально для методов тестирования простоты и всей связанной с этим криптологии.
Self [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]//Wikimedia Commons
Помните формулу квадрата? Учитывая ax2+bx+c=0, решение будет x=(-b±?(b 2-4ac))/(2a), которое, возможно, было трудно запомнить в старших классах школы, но вы должны признать, что это удобное решение закрытой формы.
Теперь, если мы подойдем к ax3+bx2+cx+d=0, можно найти замкнутую форму для «x=», хотя она гораздо более громоздкая, чем квадратичная версия. Также возможно, хотя и некрасиво, сделать это для полиномов 4-й степени ax4+bx3+cx2+dx+f=0.
Цель сделать это для полиномов любой степени была поставлена еще в 15 веке. Но начиная с 5-й степени, закрытая форма невозможна. Писать формы, когда это возможно, – это одно, но как математики доказали, что это невозможно, начиная с 5 степени?
Мир только начал осознавать гениальность французского математика Эвариста Галуа, когда он умер в возрасте 20 лет в 1832 году, завершив свой короткий земной путь фатальной дуэлью.
Для полного понимания идей Галуа потребовались десятилетия после его смерти, но в конечном итоге они превратились в целую теорию, которая теперь называется теорией Галуа. Основная теорема этой теории дает точные условия, когда многочлен может быть «решен в радикалах», то есть он имеет замкнутую форму, подобную квадратной формуле. Все многочлены до 4-й степени удовлетворяют этим условиям, но, начиная с 5-й степени, некоторые не удовлетворяют, поэтому не существует общей формы решения для любой степени выше 4.
Self [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]//Wikimedia Commons
В заключение вернемся в историю. Древние греки интересовались построением линий и фигур в различных пропорциях, используя такие инструменты, как циркуль и линейка без маркировки. Если кто-то нарисует перед вами угол на бумаге и даст вам линейку без пометок, обычный циркуль и ручку, вы сможете провести линию, которая разрезает этот угол ровно пополам. Это быстрые четыре шага, и греки знали это два тысячелетия назад.
Что ускользнуло от них, так это разделение угла на трети. Оно оставалось неуловимым буквально 15 столетий, и сотни попыток найти его были тщетны. Оказывается, такая конструкция невозможна.
Современные студенты-математики изучают задачу трисекции угла – и то, как доказать ее невозможность, – на занятиях по теории Галуа. Но, учитывая вышеупомянутый период времени, который потребовался математическому миру для обработки работы Галуа, первое доказательство проблемы принадлежит другому французскому математику, Пьеру Ванцелю. Он опубликовал свою работу в 1837 году, через 16 лет после смерти Галуа, но за девять лет до того, как была опубликована большая часть работ Галуа.
В любом случае их идеи схожи, превращая вопрос построения в вопрос о свойствах определенных репрезентативных полиномов. С помощью этих методов стали доступны многие другие древние вопросы строительства, закрывая некоторые из старейших открытых математических вопросов в истории.
Так что если кто-нибудь когда-нибудь мог бы отправиться в Древнюю Грецию, он смог бы сказать грекам, что их попытки решить задачу трисекции угла тщетны.
Возможно, да, но нам нужно помнить, что нейросети – это создание, продукт людей, поэтому не стоит умалять умственные способности гомо сапиенс. Мы, люди, постоянно что-то подсчитываем и вычисляем, заодно развивая свой разум. Без математики нельзя достичь такого уровня мышления, при котором возможно анализировать и систематизировать огромное количество поступающей информации.
Люди, которым подвластна математика, имеют также возможность находить во всех процессах жизни и в науке закономерности, они в состоянии установить причинно-следственные связи. Математика – наука самая абстрактная, поэтому она помогает развить логическое мышление, строить стратегии и абстрактные конструкции.
Занимающиеся математикой профессионалы способны найти ответы почти на все задачи, даже такие, которые признаны наиболее сложными для человеческого разума. Но некоторые из них получилось решить только благодаря вмешательству изобретения человека последних десятилетий – компьютеру.
1. Диофантово уравнение
Getty Images
В 2019 году математики наконец решили одну из сложнейших математических задач, которая ставила их в тупик на протяжении десятилетий. Она называется диофантовым уравнением, а иногда ее называют «суммой трех кубов».
Звучит она так: найдите x, y и z такие, что x3+y3+z3=k для каждого будет равно k, от единицы до 100.
На первый взгляд это кажется легкой задачкой. Можете ли вы придумать целые числа для x, y и z такие, чтобы x3+y3+z3=8? Конечно. Один из ответов: x = 1, y = -1 и z = 2. Но как насчет целых чисел для x, y и z, чтобы x3+y3+z3=42? Это оказалось намного сложнее: никто не мог найти эти целые числа в течение 65 лет, пока суперкомпьютер наконец не отыскал решение для числа 42. Итак, z = 12602123297335631. Все очевидно, не правда ли?
В этом красота математики: на всё всегда есть ответ, даже если на его поиск уходят годы, десятилетия или даже столетия. Итак, вот еще девять чрезвычайно сложных математических задач, решение которых когда-то казалось невозможным, пока математики не сделали прорыв.
2. Гипотеза Пуанкаре
Getty Images
В 2000 году Математический институт Клэя, некоммерческая организация США, занимающаяся увеличением и распространением математических знаний, предложил всем математикам в мире решить семь математических задач. В награду было предложено 1 000 000 долларов тому, кто сможет справиться хотя бы с одной из них. Ни одна из задач до сих пор не решена, за исключением гипотезы Пуанкаре.
Анри Пуанкаре был французским математиком, который примерно на рубеже 20-го века проделал фундаментальную работу в области того, что мы сейчас называем топологией. Вот его идея: топологам нужны математические инструменты для различения абстрактных форм. Что касается фигур в трехмерном пространстве, таких как шар или пончик, классифицировать их все было несложно. В некотором смысле мяч – самая простая из этих форм.
Затем Пуанкаре обратился к четырехмерным вещам и задался аналогичным вопросом. После некоторых доработок и переработок гипотеза приняла следующую форму: «Каждое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно S 3», что, по сути, гласит: «Простейшая четырехмерная форма является четырехмерным эквивалентом сферы».
Столетие спустя, в 2003 году, российский математик Григорий Перельман опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре на современном открытом математическом форуме arXiv. В его доказательстве было несколько небольших пробелов, и оно основывалось непосредственно на исследованиях американского математика Ричарда Гамильтона. Это было революционно, но скромно.
После того как математический мир потратил несколько лет на проверку деталей работы нашего математика, началось вручение наград. Перельману предложили премию тысячелетия в миллион долларов, а также медаль Филдса, которую часто называют Нобелевской премией по математике. Он отверг оба варианта, сказав, что его работа была направлена на пользу математики, а не для личной выгоды, а также что Гамильтон, заложивший основы его доказательства, по крайней мере, не менее заслуживает премии.
3. Последняя теорема Ферма
Getty Images
Пьер де Ферма – французский юрист и математик 17 века. Математика была для него скорее хобби, и поэтому один из величайших математических умов в истории предал огласке многие из своих теорем через случайную переписку. Он делал утверждения, не доказывая их, оставляя их доказывать другим математикам десятилетия или даже столетия спустя. Самая сложная из них стала известна как Великая теорема Ферма.
Вот что это вкратце. Существует множество троек целых чисел (x, y, z), удовлетворяющих x2+y2=z2. Они известны как тройки Пифагора, например (3,4,5) и (5,12,13). Теперь, есть ли три числа (x, y, z), удовлетворяющее x3+y3=z3?
Ответ – нет, и это и есть Великая теорема Ферма.
Ферма, как известно, написал Великую теорему от руки на полях учебника, добавив комментарий о том, что у него имеется доказательство, но он не может поместить его на полях – недостаточно места. На протяжении веков математический мир задавался вопросом, действительно ли он имел в виду достоверное доказательство.
Перенесемся через 330 лет после смерти Ферма в 1995 год, когда британский математик сэр Эндрю Уайлс наконец решил одну из старейших открытых задач в истории. За свои усилия Уайлс был посвящен в рыцари королевой Елизаветой II и награжден уникальной почетной доской вместо медали Филдса, поскольку его возраст был чуть выше официального возраста для получения этой награды.
Уайлсу удалось объединить новые исследования в самых разных областях математики, чтобы решить классический вопрос теории чисел Ферма. Одна из этих тем, эллиптические кривые, была совершенно не открыта во времена Ферма, что заставило многих увериться, что у Ферма никогда не было доказательства своей Великой теоремы.
4. Классификация простых конечных групп
Wikimedia Commons
От решения кубика Рубика до доказательства факта обмена телами в Футураме – абстрактная алгебра имеет широкий спектр приложения. Алгебраические группы – это наборы, соответствующие нескольким базовым свойствам, таким как наличие «элемента идентичности», который работает как добавление 0.
Группы могут быть конечными или бесконечными, и если вы хотите знать, как выглядят группы определенного размера n, это может оказаться очень сложным в зависимости от вашего выбора n.
Если n равно 2 или 3, группа может выглядеть только одним способом. Когда n достигает 4, есть две возможности. Естественно, математикам нужен был полный список всех возможных групп любого заданного размера.
На составление полного списка ушли десятилетия из-за трудностей с уверенностью в его полноте. Одно дело – описать, как выглядит бесконечное множество групп, но еще труднее убедиться, что список охватывает все. Классификация конечных простых групп – возможно, величайший математический проект 20-го века, был организован гарвардским математиком Дэниелом Горенштейном, который в 1972 году разработал чрезвычайно сложный план.
К 1985 году работа была почти завершена, но она охватывала так много страниц и публикаций, что было немыслимо, чтобы один человек мог ее рецензировать. Постепенно многие аспекты доказательства были проверены, и полнота классификации подтверждена.
К 1990-м годам это доказательство получило широкое признание. Последующие усилия были предприняты, чтобы упростить титаническое доказательство до более управляемого уровня, и этот проект продолжается до сих пор.
5. Теорема о четырёх красках
Inductiveload [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)]//Wikimedia Commons
Это так же легко утверждать, как и трудно доказать. Возьмите любую карту (расположенную на плоскости или на сфере) и четыре карнадаша, фломастера. Раскрасьте каждую страну на карте, следуя только одному правилу: ни одна страна, имеющая общую границу с другими, не имеет одинакового цвета.
wikipedia.org
Тот факт, что любую карту можно раскрасить пятью цветами – «Теорема пяти цветов», – был доказан ещё в XIX веке. Но снижение этого показателя до четырех заняло время до 1976 года.
Два математика из Университета Иллинойса, Кеннет Аппель и Вольфганг Хакан, нашли способ свести доказательство к большому, конечному числу случаев. С помощью компьютера они тщательно проверили почти 2000 случаев и в итоге получили беспрецедентный стиль доказательств.
Доказательство Аппеля и Хакана, возможно, спорное, поскольку оно было частично задумано в уме машины, но в конечном итоге было принято большинством математиков. С тех пор детали, проверенные на компьютере, стали гораздо более распространенным явлением, но Аппель и Хакан первые проложили этот путь.
6. Континуум-гипотеза
Wikimedia Commons
В конце 19 века немецкий математик Георг Кантор поразил всех, выяснив, что бесконечности бывают разных размеров, называемых мощностями. Он доказал основополагающие теоремы о мощности, которые современные математики обычно изучают на уроках дискретной математики.
Кантор доказал, что множество действительных чисел больше множества натуральных чисел, которое мы записываем как |R|>|N|. Нетрудно было установить, что размер натуральных чисел |N| – это первый бесконечный размер; ни одно бесконечное множество не меньше N.
Реальные числа больше, но являются ли они вторым бесконечным размером? Это оказался гораздо более сложный вопрос, известный как «Гипотеза континуума» (CH – Continuum hypothesis).
Если CH истинно, то |R| – второй бесконечный размер, и нет бесконечных множеств меньше R, но больше N. А если CH ложно, то между ними есть хотя бы один размер.
Так каков ответ? Здесь дело принимает следующий оборот. Было доказано, что CH независимо по отношению к базовым аксиомам математики. Оно может быть истинным, и никаких логических противоречий не последует, но оно также может быть ложным, и никаких логических противоречий не последует.
Это странное положение дел, но не такое уж редкое в современной математике. Возможно, вы слышали об «Аксиоме выбора» – еще одном независимом утверждении. Доказательство этого результата растянулось на десятилетия и, естественно, разделилось на две основные части: доказательство непротиворечивости CH и доказательство непротиворечивости отрицания CH.
Первая половина – благодаря Курту Гёделю, легендарному австро-венгерскому логику. Его математическая конструкция 1938 года, известная как Конструируемая Вселенная Гёделя, доказала совместимость CH с базовыми аксиомами и до сих пор является краеугольным камнем классов теории множеств. Вторая половина решалась еще два десятилетия, пока Пол Коэн, математик из Стэнфорда, не решил ее, изобретя целый метод доказательства в теории моделей, известный как «принуждение».
Каждая половина доказательства Гёделя и Коэна требует определенного уровня теории множеств, поэтому неудивительно, что эта уникальная история оказалась эзотерической за пределами математических кругов.
7. Теоремы Гёделя о неполноте
Работы Гёделя в области математической логики были совершенно новым уровнем. Помимо доказывания, Гёдель также любил доказывать, можно ли что-то доказать. Его теоремы о неполноте часто понимают неправильно, поэтому вот вам прекрасная возможность прояснить их.
Первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что на любом языке доказательств всегда есть недоказуемые утверждения. Всегда есть что-то истинное, что нельзя доказать. Можно понять (математически нестрогую) версию аргумента Гёделя, если тщательно поразмыслить. Итак, пристегнитесь, рассмотрим утверждение: «Это утверждение не может быть доказано».
Продумайте каждый случай, чтобы понять, почему это пример истинного, но недоказуемого утверждения. Если оно ложно, то и то, о чем оно говорит, ложно, и тогда его можно доказать истинным, а это противоречиво, поэтому этот случай невозможен. С другой стороны, если бы у него действительно было доказательство, то это доказательство доказало бы его истинность... сделав правдой отсутствие доказательств, что противоречиво, убивая это утверждение. Таким образом, мы логически остаемся со случаем, когда утверждение истинно, но не имеет доказательств. Да, есть от чего кружиться голове.
Но последуйте этому почти, но не совсем парадоксальному трюку, и вы проиллюстрируете справедливость первой теоремы Гёделя о неполноте.
Вторая теорема Гёделя о неполноте столь же странна. Он утверждает, что математические «формальные системы» не могут доказать свою непротиворечивость. Последовательная система – это та, которая не вызывает никаких логических противоречий.
Вот как вы можете об этом думать. Представьте, что у Алика и Бори есть набор математических аксиом – базовых математических правил. Если Алик может использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система аксиом Бори не содержит противоречий, то Боря не сможет использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система Алика не порождает противоречий.
Поэтому, когда математики спорят о наилучшем выборе основных аксиом математики (это встречается гораздо чаще, чем вы можете себе представить), крайне важно осознавать это явление.
8. Теорема о простых числах
User:Dcoetzee [CC0]//Wikimedia Commons
Существует множество теорем о простых числах. Один из простейших фактов – существование бесконечного числа простых чисел – можно даже очаровательно уместить в форме хайку.
Теорема о простых числах более тонкая; она описывает распределение простых чисел вдоль числовой прямой. Точнее, там говорится, что для натурального числа N количество простых чисел ниже N равно примерно N/log(N)... с обычными статистическими тонкостями, связанными со словом «приблизительно».
Опираясь на идеи середины XIX века, два математика, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле Пуссен, независимо друг от друга доказали теорему о простых числах в 1898 году. С тех пор доказательство стало популярной мишенью для переписывания, претерпев множество косметических изменений и упрощений. Но влияние теоремы только возросло.
Полезность теоремы о простых числах огромна. На нее полагаются современные компьютерные программы, работающие с простыми числами. Это фундаментально для методов тестирования простоты и всей связанной с этим криптологии.
9. Решение полиномов радикалами
Self [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]//Wikimedia Commons
Помните формулу квадрата? Учитывая ax2+bx+c=0, решение будет x=(-b±?(b 2-4ac))/(2a), которое, возможно, было трудно запомнить в старших классах школы, но вы должны признать, что это удобное решение закрытой формы.
Теперь, если мы подойдем к ax3+bx2+cx+d=0, можно найти замкнутую форму для «x=», хотя она гораздо более громоздкая, чем квадратичная версия. Также возможно, хотя и некрасиво, сделать это для полиномов 4-й степени ax4+bx3+cx2+dx+f=0.
Цель сделать это для полиномов любой степени была поставлена еще в 15 веке. Но начиная с 5-й степени, закрытая форма невозможна. Писать формы, когда это возможно, – это одно, но как математики доказали, что это невозможно, начиная с 5 степени?
Мир только начал осознавать гениальность французского математика Эвариста Галуа, когда он умер в возрасте 20 лет в 1832 году, завершив свой короткий земной путь фатальной дуэлью.
Для полного понимания идей Галуа потребовались десятилетия после его смерти, но в конечном итоге они превратились в целую теорию, которая теперь называется теорией Галуа. Основная теорема этой теории дает точные условия, когда многочлен может быть «решен в радикалах», то есть он имеет замкнутую форму, подобную квадратной формуле. Все многочлены до 4-й степени удовлетворяют этим условиям, но, начиная с 5-й степени, некоторые не удовлетворяют, поэтому не существует общей формы решения для любой степени выше 4.
10. Трисекция угла
Self [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]//Wikimedia Commons
В заключение вернемся в историю. Древние греки интересовались построением линий и фигур в различных пропорциях, используя такие инструменты, как циркуль и линейка без маркировки. Если кто-то нарисует перед вами угол на бумаге и даст вам линейку без пометок, обычный циркуль и ручку, вы сможете провести линию, которая разрезает этот угол ровно пополам. Это быстрые четыре шага, и греки знали это два тысячелетия назад.
Что ускользнуло от них, так это разделение угла на трети. Оно оставалось неуловимым буквально 15 столетий, и сотни попыток найти его были тщетны. Оказывается, такая конструкция невозможна.
Современные студенты-математики изучают задачу трисекции угла – и то, как доказать ее невозможность, – на занятиях по теории Галуа. Но, учитывая вышеупомянутый период времени, который потребовался математическому миру для обработки работы Галуа, первое доказательство проблемы принадлежит другому французскому математику, Пьеру Ванцелю. Он опубликовал свою работу в 1837 году, через 16 лет после смерти Галуа, но за девять лет до того, как была опубликована большая часть работ Галуа.
В любом случае их идеи схожи, превращая вопрос построения в вопрос о свойствах определенных репрезентативных полиномов. С помощью этих методов стали доступны многие другие древние вопросы строительства, закрывая некоторые из старейших открытых математических вопросов в истории.
Так что если кто-нибудь когда-нибудь мог бы отправиться в Древнюю Грецию, он смог бы сказать грекам, что их попытки решить задачу трисекции угла тщетны.
Обложка: shutterstock.com
Источник статьи: These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved
Источник: https://1gai.ru/publ/529926-10-naibolee-slozhnyh-zadach-kotorye-nakonec-reshili-matematiki.html
Источник статьи: These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved
Источник: https://1gai.ru/publ/529926-10-naibolee-slozhnyh-zadach-kotorye-nakonec-reshili-matematiki.html
Коментарии (0)