Оказывается, тот нос, который на лице, тут совершенно ни при чем. Слово «нос» в старину употреблялось в значении «взятка», «подношение». На Руси без подарка в учреждениях было трудно добиться решения своего вопроса. Вот и приносили просители с собой «нос»: если подношение принималось, можно было рассчитывать на успешное разрешение дела, если нет, то посетитель оставался с «носом», без надежды на успех.
Источник: https://vseznaesh.ru/